Ο διευθυντής μιας φυλακης μαζεύει ένα απόγευμα τους κρατούμενους, 100 άτομα σύνολο, και τους προτείνει την εξής συμφωνία…

“Επειδή η φυλακή έχει παραγεμίσει, λέω να κάνουμε την εξής συμφωνία: αύριο το πρωί θα σας βγάλω έξω στην αυλή και θα σας στήσω στη σειρά έτσι ώστε ο κάθε ένας να μπορεί να βλέπει όλους τους μπροστά του και μόνο αυτούς. Μετά θα σας φορέσω ένα καπέλο που θα είναι ή άσπρο ή μαύρο (τελείως τυχαία). Οπότε ο καθένας θα βλέπει των μπροστινών του αλλά δε θα βλέπει ούτε το δικό του ούτε των από πίσω του.
Έπειτα θα ρωτάω έναν έναν, από τον τέρμα πίσω προς τα μπρος, τι χρώμα καπέλο φοράει, όποιος το πετυχαίνει φεύγει ελεύθερος, όποιος πει λάθος πεθαίνει επί τόπου, αν κάποιος πει κάτι άσχετο (εκτός δηλ. από μαύρο / άσπρο) για να βοηθήσει τους υπόλοιπους πεθαίνετε όλοι…”
Οι φυλακισμένοι το συζητάνε λίγο και αποδέχονται τη συμφωνία… Μετά βρίσκονται όλοι μαζί και συνεννοούνται για το τι θα κάνουν…..
Με ελάχιστη τύχη την άλλη μέρα καταφέρνουν να φύγουν όλοι ελεύθεροι… Τί συνεννόηση έκαναν;

Έχουμε μια κυκλική πίστα (έναν κύκλο…) στην οποία υπάρχουν δύο αυτοκίνητα τοποθετημένα σε τυχαία σημεία. Ξεκινούν να κινούνται με την ίδια σταθερή ταχύτητα προς αντίθετες κατευθύνσεις πάνω στον κύκλο και κάθε φορά που “συναντιούνται” αλλάζουν στιγμιαία κατεύθυνση και συνεχίζουν να κινούνται με την ίδια σταθερή ταχύτητα (υποθέτουμε ότι η αλλαγή κατεύθυνσης γίνεται στιγμιαία). Να δείξετε ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα τα αυτοκίνητα θα ξαναβρεθούν στις αρχικές τους θέσεις και μάλιστα έχοντας την ίδια κατεύθυνση όπως όταν ξεκίνησαν….
Εύκολο; Το συμπέρασμα όμως δεν ισχύει μόνο για 2 αυτοκίνητα αλλά για n αυτοκίνητα τοποθετημένα τελείως στην τύχη πάνω στον κύκλο και με τελείως τυχαίες κατευθύνσεις (η μόνη προϋπόθεση είναι ότι έχουν όλα την ίδια σταθερή ταχύτητα)…. Κάποτε θα ξαναβρεθούν όλα ταυτόχρονα στην αρχική τους θέση….μπορείτε να αποδείξετε ότι κάτι τέτοιο είναι βέβαιο;