Ο ήρωας του σημερινού μας γρίφου είναι ένας πραγματικά τεμπέλης άνθρωπος (ας τον πούμε κ.Τσουγκράνα) που δουλεύει σε ένα συνοικιακό θέατρο σαν ταμίας. Αυτό τον καιρό ανεβαίνει μια παράσταση που έχει εισιτήριο 5€. Ο κ.Τσουγκράνας επειδή βαριότανε δεν πήγε να κάνει καθόλου ψιλά (5€) οπότε ξεκινά με άδειο ταμείο. Αν στην ουρά υπάρχουν 2ν άτομα από τα οποία οι μισοί έχουν 5€ ακριβώς ενώ οι άλλοι μισοί έχουν ένα 10€ (ένα χαρτονόμισμα των 10€ – όχι σε ψιλά) ποια είναι η πιθανότητα να μην συναντήσει ο κ.Τσουγκράνας πρόβλημα με τα ρέστα;

Προφανώς θεωρούμε ότι τα 2ν άτομα είναι τοποθετημένα με τυχαία σειρά – άσχετα απ’ το αν έχουν ή όχι ακριβώς τα λεφτά για το εισιτήριο.

Ο Γιάννης έχει πρόβλημα. Βρίσκεται στο κέντρο μιας κυκλικής λίμνης με ακτίνα 100m και στην περίμετρό της λίμνης βρίσκεται ένα τέρας που κατασπαράζει τους κολυμβητές. Τα καλά νέα για τον Γιάννη είναι ότι το τέρας δεν μπορεί να κολυμπήσει και συνεπώς, προς το παρόν τουλάχιστον, ο Γιάννης είναι ασφαλής.

Ωστόσο, δεν μπορεί να μείνει για πάντα μέσα στην λίμνη οπότε πρέπει κάπως να δραπετεύσει. Το πρόβλημα είναι ότι ενώ στην στεριά ο Γιάννης τρέχει πολύ πιο γρήγορα από το τέρας, στο νερό μπορεί να κολυμπήσει με ταχύτητα μόλις 1m/sec ενώ το τέρας μπορεί να περπατάει γύρω από την λίμνη με 4m/sec.

Υπάρχει τρόπος να φτάσει ο Γιάννης στην στεριά χωρίς να τον προλάβει το τέρας;
Αν υπάρχει περιγράψτε την πορεία του. Αν δεν υπάρχει περιγράψτε την στρατηγική που μπορεί να ακολουθήσει το τέρας για να τον πιάσει σίγουρα.

Διευκρινήσεις:

• Η λίμνη είναι τέλειος κύκλος
• Το τέρας δεν μπορεί να μπει στο νερό ή να “πηδήξει” πάνω στο Γιάννη οσοδήποτε κοντά και αν βρίσκεται σε αυτόν, οπότε ο μόνος τρόπος για να τον πιάσει είναι να βρεθούν ταυτόχρονα στο ίδιο σημείο της περιμέτρου της λίμνης.

Ο Δημήτρης (αδελφός του Αλέκου) πεθαίνει κι αυτός και βρίσκεται όπως και ο αδελφός του μπροστά στις δύο πανομοιότυπες πύλες (παράδεισος – κόλαση). Ο Δημήτρης λοιπόν στέκεται εκεί με αυτοπεποίθηση και περιμένει τους φύλακες που εκείνη την ώρα έλειπαν για κολατσιό. Γνωρίζει ως φανατικός αναγνώστης του YouReka την ερώτηση που πρέπει να κάνει ώστε να διαλέξει τη σωστή πόρτα. Έλα μου όμως που για κακή του τύχη το σύστημα έχει πλέον αλλάξει…. Επειδή πολύς κόσμος κατάφερνε να μπει στον παράδεισο πλέον στις πύλες υπάρχουν 3 φύλακες. Ο ένας λέει πάντα την αλήθεια, ο άλλος λέει πάντα ψέμματα ενώ ο τρίτος λέει πότε αλήθεια και πότε ψέμματα!

Ο Δημήτρης έχει δικαίωμα να κάνει δύο ερωτήσεις πριν διαλέξει το που θα πάει. Φυσικά δεν γνωρίζει ποιος από τους τρεις φύλακες λέει αλήθεια, ποιος ψέματα και ποιος λέει ότι του κατέβει!

Ποιες ερωτήσεις πρέπει να κάνει ο Δημήτρης ώστε να μάθει ποια πύλη οδηγεί στον παράδεισο;

Τις προάλλες αποφάσισα να συμμαζέψω τα στυλό που βρίσκονται σκόρπια στα συρτάρια του γραφείου μου.

Ανοίγοντας ένα-ένα τα συρτάρια μάζεψα όλα τα στυλό που περιέχονταν σε αυτά αφού πρώτα σημείωσα πόσα στυλό περιείχε το κάθε συρτάρι. Επειδή έχω μια μανία με την στατιστική κάθισα και υπολόγισα την διάμεσο, την επικρατούσα και την μέση τιμή του δείγματός μου.

Βρήκα, λοιπόν, ότι:
Η διάμεσος είναι 3
Η επικρατούσα τιμή είναι 4
Η μέση τιμή είναι 5

Μπορείτε να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό συρταριών που μπορεί να έχει το γραφείο μου για να μπορεί να συμβεί το παραπάνω; Δεδομένου ότι ο αριθμός που θα βρείτε είναι ακριβώς ο αριθμός συρταριών του γραφείου μου, μπορείτε να μου πείτε πόσα στυλό βρήκα συνολικά;

Διευκρίνηση: Μπορεί να υπήρξαν συρτάρια που δεν περιείχαν κανένα στυλό.

Για αυτούς που δεν θυμούνται από την στατιστική:

• Μέση τιμή δείγματος είναι το άθροισμα όλων των τιμών του δείγματος προς το μέγεθος του δείγματος.
• Επικρατούσα τιμή δείγματος είναι η τιμή αυτή που επαναλαμβάνεται τις περισσότερες φορές μέσα στο δείγμα.
• Διάμεσος δείγματος είναι η τιμή που εμφανίζεται στη μέση αφού διατάξουμε το δείγμα σε αύξουσα σειρά τιμών. Αν το δείγμα αποτελείται από άρτιο (ζυγό) αριθμό τιμών και συνεπώς δεν υπάρχει τιμή ακριβώς στην μέση του δείγματος, τότε θεωρούμε ως διάμεσο την μέση τιμή των δύο μεσαίων τιμών του διατεταγμένο δείγματος.

Για παράδειγμα, αν έχουμε το δείγμα {5, 1, 23, 0, 15, 3, 5, 0, 1, 3, 11, 5} τότε η μέση τιμή είναι (5+1+23+0+15+3+5+0+1+3+11+5)/12=6. Η επικρατούσα τιμή είναι 5 αφού επαναλαμβάνεται 3 φορές στο δείγμα, πράγμα που δεν ισχύει για καμία άλλη τιμή. Για να πάρουμε την διάμεσο πρέπει πρώτα να διατάξουμε το δείγμα μας, οπότε έχουμε {0, 0, 1, 1, 3, 3, 5, 5, 5, 11, 15, 23). Αφού το δείγμα μας έχει μέγεθος 12 που είναι άρτιος αριθμός, η διάμεσος δίνεται από την μέση τιμή των δύο μεσαίων τιμών που είναι οι 3 και 5. Οπότε η διάμεσος του δείγματος αυτού είναι 4 αφού (3+5)/2=4.

Ένα από τα βράδια όπου η ομάδα του Youreka βρισκόταν στο Δώμα, ανοίγει η πόρτα και μπαίνει ο Χάρος μέσ’ τα κλάματα. Αφού καθίσαμε και ήπιαμε κάνα δυο μπύρες μαζί του μας εξήγησε ότι είχε γραφειοκρατικό πρόβλημα στις πύλες και ότι ήθελε τη βοήθεια μας. Επίσης μας πληροφόρησε ότι κάθε φορά που επέστρεφε στις πύλες του ζητούσαν αναλυτικά πόσες ψυχές είχε παραλάβει ανά ημέρα τις ημέρες που έλειπε και πως αυτή τη φορά είχε χάσει το τεφτέρι όπου έκανε αυτές τις σημειώσεις. Έτσι με την σειρά μας ζητήσαμε όλες τις πληροφορίες που θυμόταν ο Χάρος για τους αριθμούς που σημείωνε στο τεφτέρι του και ακολούθησε ο εξής διάλογος:

– Θυμάμαι ότι ήταν συνολικά 198 ψυχές.

– Ζωή σε λόγου μας.

– Επίσης θυμάμαι ότι όταν έκανα την πρόσθεση οι αριθμοί που χρησιμοποίησα είχαν ψηφία από το {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} σε φθίνουσα σειρά και κάθε ψηφίο είχε χρησιμοποιηθεί μόνο μια φορά.

– Δηλαδή .. ήταν κάπως έτσι το άθροισμα?? 9+8+7+65 +43+2+10=….

– Ναι.. μόνο δεν θυμάμαι τους ακριβείς αριθμούς ανά μέρα..

– Ωραία θα σου στείλουμε την απάντηση στο και καλές δουλειές.

Υ.Γ. Ζητείται να βρεθούν όλα τα πιθανά αθροίσματα και να μη χρησιμοποιηθεί βοήθεια υπολογιστή.

Η ομάδα του YouReka έχει ένα εξοχικό στο Πευκοχώρι και έχουν πάει εκεί για το σαββατοκύριακο. Καθώς κάθονται στο μπαλκόνι και πίνουν την πρωινή φραπεδιά τους παρατηρούν τον κισσό που έχει φυτρώσει στην αυλή.

Ο κισσός αναρριχάται γύρω από ένα κυλινδρικό δοκάρι ύψους 32 μέτρων και περιφέρειας (μήκος κύκλου) 15 μέτρων. Η “τροχιά” του είναι ελικοειδής.

Αν ο κισσός με μία πλήρη περιστροφή γύρω από το δοκάρι φτάνει σε ύψος 8 μέτρων ποιο θα είναι το συνολικό του μήκος όταν θα έχει όταν φτάσει στην κορυφή του δοκαριού;