Ο σημερινός μας γρίφος θα μας ταξιδέψει στο μέλλον. Είμαστε λοιπόν στο έτος 3000 και κάτι ψιλά και η τεχνολογία έχει εξελιχθεί, μια κατάσταση αλλά Ισαάκ Ασίμωφ (Isaac Asimov) φανταστείτε. Σε ένα από τα βασικά ορυχεία του πλανήτη Άρη κάποια απ’ τα ρομπότ (λόγω κάποιου κατασκευαστικού ελαττώματος) έχουν ξεκινήσει ανταρσία.
 Μετά την καταστολή της ανταρσίας και αφού όλα τα ρομπότ έχουν τεθεί υπό περιορισμό υπάρχει το εξής πρόβλημα. Απ’ τη μια είναι οικονομικά ασύμφορο να καταστραφούν όλα τα ρομπότ, αλλά δεν υπάρχει κάποιος ασφαλής τρόπος να βρεθεί ποια από αυτά είναι τα ελαττωματικά. Η μόνη ελπίδα είναι πως το κάθε ρομπότ γνωρίζει για όλα τα άλλα αν είναι ή όχι ελαττωματικά.
 Έρχεται λοιπόν στο χώρο κράτησης των ρομπότ ο Elijah Baley για να βρει άκρη…. Η μοναδική πηγή πληροφορίας που έχει είναι ότι μπορεί να ρωτήσει το κάθε ρομπότ χ αν το ρομπότ ψ είναι ή όχι ελαττωματικό. Αν το ρομπότ είναι ελαττωματικό δεν θα του πει βέβαια κατ’ ανάγκη την αλήθεια. Αν δεν είναι ελαττωματικό θα του απαντήσει την αλήθεια.

 – Εσείς μπορείτε να βρείτε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε να μπορέσει ο Elijah να βγάλει συμπέρασμα;
 – Αν ο Elijah ξέρει ότι ισχύει η προηγούμενη συνθήκη πόσες είναι οι ελάχιστες ερωτήσεις που θα χρειαστεί ώστε να απομονώσει ένα σίγουρα μη ελαττωματικό ρομπότ;

 (Αν βρει ένα σίγουρα μη ελαττωματικό μπορεί απλά ρωτώντας αυτό για όλα τα άλλα βρει όλα τα ελαττωματικά)

Μπορείτε να υποθέσετε ότι τα ρομπότ είναι σύνολο 100 αλλά δεν έχει σημασία πόσα είναι συνολικά!

Η παρέα του YouReka.gr κάθεται και τα πίνει σε μια ψαροταβέρνα (καλή η κυρα-Γιαννούλα αλλά καλοκαίριασε…) και διαπιστώνει ξαφνικά ότι έχει τελειώσει το κρασί! Χωρίς να χάσει χρόνο παραγγέλνει 3 λίτρα ακόμη…. Την ίδια στιγμή η διπλανή παρέα παραγγέλνει κι αυτή 3 λίτρα κρασί ακόμα…. Όμως ο καημένος ο ταβερνιάρης έχει πρόβλημα…. Βλέπετε έχει σχεδόν ξεμείνει από κρασί…. Του έχουν απομείνει μόνο δύο γεμάτα 10λιτρα κανάτια και 2 άδεια, ένα 5λιτρο και ένα 4λιτρο. Μπορείτε να τον βοηθήσετε να φέρει σε πέρας και τις δύο παραγγελίες;

Σε μια φανταστική χώρα, την Armenian Slaughterers United (ASU) το εκλογικό σύστημα έχει ως εξής:

Οι ψηφοφόροι χωρίζονται σε v₁ ισοπληθείς ομάδες (επίπεδο 1) των μ₁ ατόμων. Έπειτα κάθε μια από αυτές σε v₂ ισοπληθείς ομάδες (επίπεδο 2) των μ₂ ατόμων κ.ο.κ. μέχρι να κρίνει η εκάστοτε κυβέρνηση ότι τη συμφέρει (το ποιος πάει σε κάθε ομάδα το καθορίζει φυσικά η κυβέρνηση όπως θέλει αυτή). Έπειτα η κάθε ομάδα του τελευταίου επιπέδου (n) βγάζει με απόλυτη πλειοψηφία (σε περίπτωση ισοψηφίας χάνει ο κυβερνητικός εκπρόσωπος) έναν αντιπρόσωπο που θα έχει δικαίωμα ψήφου στο ένα πιο πάνω επίπεδο (n-1). Αυτοί βγάζουν αντιπροσώπους για το n-2 κ.ο.κ. Η τελική ψηφοφορία στο επίπεδο 1 καθορίζει και την επόμενη κυβέρνηση της χώρας. Η ASU έχει αυτή τη στιγμή 100.000.000 πολίτες από τους οποίου δικαίωμα ψήφου έχουν οι 59.049.000. Αν η τωρινή κυβέρνηση έχει την υποστήριξη του 0,2% του συνολικού πληθυσμού και όλοι οι υποστηρικτές της έχουν δικαίωμα ψήφου μπορεί να χωρίσει τον κόσμο με κατάλληλο τρόπο ώστε να επανεκλεγεί δημοκρατικά;

Ο shortmanikos μόλις πήρε το δίπλωμα οδήγησης και σκέφτεται (με κάτι λεφτά που έχει στην άκρη) να πάρει αμάξι…. Η πρώτη του σκέψη είναι για μεταχειρισμένο. Κοιτώντας τις τιμές παρατηρεί ότι ισχύει το εξής περίεργο με την τιμή του μοντέλου που τον ενδιαφέρει. Αν πάρεις την τιμή του (τετραψήφιος αριθμός α₁α₂α₃α₄) και τον πολλαπλασιάσεις με το 4 θα πάρεις τον ίδιο αριθμό αντεστραμμένο (α₄α₃α₂α₁). Πόσο κοστίζει λοιπόν το αμάξι;

Το γρίφο μας έστειλε ο χρήστης sdakos

Μια μέρα ενώ ο Γιάννης παρακολουθούσε Ολοκληρωτικό Λογισμό στη σχολή γνωρίστηκε με την Ελένη (επίσης φοιτήτρια μαθηματικού). Αφού μιλήσανε λίγο η Ελένη φαγώθηκε να μάθει το mail του για να επικοινωνούνε…. Έλα μου όμως που ο Γιάννης δεν είχε καμία όρεξη να της δώσει το πραγματικό του mail…. Με τα πολλά η Ελένη κατάφερε να μάθει ότι το mail είναι johnny_xxx-at-youreka.gr (όπου xxx ένας τριψήφιος αριθμός απ’ το 005 ως το 115. Ακολούθησε ο παρακάτω διάλογος:

– “Έλα πες με τουλάχιστον αν είναι μεγαλύτερος απ’ το 50.”
Ο Γιάννης απαντά μεν, αλλά λέει ψέματα
– “Και μήπως είναι πολλαπλάσιο του 4;”
Ο Γιάννης απαντά μεν, αλλά λέει ψέμματα.
– “Νομίζω πλησιάζω… Είναι τέλειο τετράγωνο;”
Ο Γιάννης απαντά και λέει αλήθεια.
– “Εντάξει τον έχω βρει σχεδόν…. Απλά πες με αν το πρώτο ψηφίο του είναι 3 και θα τον βρω.”
Ο Γιάννης απαντά, η Ελένη “βρίσκει” τον αριθμό…. ο οποίος βέβαια είναι λάθος μια και οι περισσότερες απαντήσεις του Γιάννη ήταν ψέματα.

Εσείς μπορείτε να βρείτε το πραγματικό mail του Γιάννη;

Μια συμμορία πειρατών κάθεται μετά από μια επιτυχημένη μπάζα να μοιράσει τα λάφυρα (χρυσά νομίσματα) με τα πρωτοπαλίκαρά του. Επειδή ο καπετάνιος του πειρατικού έχει μια τρέλα με τη θεωρία αριθμών και τους γρίφους κανονίζουν τη μοιρασιά ώστε να ισχύει το εξής:
Το μερίδιο του 1ου + το 1/2 από το μερίδιο όλων των υπόλοιπων (εκτός από τον 1o) =
Το μερίδιο του 2ου + το 1/3 από το μερίδιο όλων των υπόλοιπων (εκτός από τον 2o) =
Το μερίδιο του 3ου + το 1/4 από το μερίδιο όλων των υπόλοιπων (εκτός από τον 3o) =
………..
………..
Το μερίδιο του Nου + το 1/(N+1) από το μερίδιο όλων των υπόλοιπων (εκτός από τον No).

Μετά τη μοιρασιά κατεβαίνει ο καπετάνιος στο αμπάρι που είχαν φυλακισμένο τον Βάιο και αφού του εξηγεί το πως έγινε η μοιρασιά του λέει:
– “Αν καταφέρεις να βρεις πόσα πήρε ο καθένας μας θα αφήσω να φύγεις, δε θα σε πουλήσω στα σκλαβοπάζαρα! Για να σε βοηθήσω τα χρυσά νομίσματα ήταν λιγότερα από χίλια και περισσότεροι απ’ τους μισούς πήραν μονό αριθμό νομισμάτων.”
– “Μήπως να βοηθούσες λίγο ακόμα….” Λέει μετά από λίγη σκέψη ο Βάιος.
– “Το λιγότερο που πήρε κάποιος ήταν ***** “(παρόλο που ο Βάιος άκουσε το ποσό η ομάδα του YouReka θεώρησε σκόπιμο να λογοκρίνει αυτή την πληροφορία)
– “Δε βοηθάς πολύ….” Λέει διστακτικά ο Βάιος.
– “Κοίτα εγώ σε σχέση με αυτόν που πήρε τα λιγότερα πήρα παραπάνω απ’ τα δεκαπλάσια.” Λέει γελώντας ο καπετάνιος.

Με αυτήν την πληροφορία ο Βάιος μαντεύει το μερίδιο του κάθε πειρατή!
Εσείς μπορείτε να τα καταφέρετε;

Να σημειώσουμε ότι το Βάιο τον άρπαξαν οι πειρατές τόσο γρήγορα που δεν έχει ιδέα για το πόσοι είναι αυτοί, δεν ξέρει δηλαδή εξαρχής το πόσοι πειρατές μοιράστηκαν τα χρυσά νομίσματα.