Είναι ένας παππούς σε μια ταβέρνα και πίνει τα ουζάκια του με ένα συγχωριανό του που έχει μεταπτυχιακό στα Μαθηματικά. Πως το φέρνει η κουβέντα λέει ο παππούς ότι έχει τρεις εγγονές….

-“Πόσο χρονών είναι;” Ρωτά ο Μαθηματικός.
-“Κοίτα το γινόμενο των ηλικιών τους είναι 36 και το άθροισμά τους είναι όσο είναι τώρα ο δικός σου ο γιος.” Απαντά ο παππούς.
-“Μα αυτά τα δύο στοιχεία δεν είναι αρκετά από μόνα τους;”
-“Δίκιο έχεις…Λοιπόν η μεγάλη έχει πάρει τα μάτια μου.”
-“Έτσι μάλιστα, τώρα ξέρω τις ηλικίες τους.”

Εσείς μπορείτε να βρείτε πόσο χρονών είναι οι εγγονές του παππού;

Συνήθως όταν κάποιος βλέπει αυτό το σχήμα το μυαλό του πάει στο πυθαγόρειο θεώρημα και στα αντίστοιχα ερωτήματα. Ωστόσο πολλές φορές από μια απόδειξη μπορεί να γεννηθεί μια άλλη. Αποδείξτε λοιπόν ότι κάθε κόκκινο τρίγωνο όπως φαίνεται στο σχήμα έχει ίσο εμβαδό με το ορθογώνιο τρίγωνο.

Έχουν στο ζωολογικό κήπο 16 πράσινα, 18 κόκκινα και 20 κίτρινα κροκοδειλάκια… Τα κροκοδειλάκια αυτά είναι “ιδιαίτερα”, κάθε φορά που ακουμπάνε δύο κροκοδειλάκια διαφορετικού χρώματος αλλάζουν και αποκτάνε και τα δύο το τρίτο χρώμα….
Ο διευθυντής του κήπου επειδή στα παιδάκια αρέσουν πιο πολύ τα κόκκινα θέλει να κάνει όλα τα κροκοδειλάκια κόκκινα.
Γίνεται αυτό και αν ναι πώς θα το κάνει;

Είναι γνωστό ότι το κλασικό σχήμα του αστεριού είναι συμμετρικό ως προς κάποιους άξονες και αν ασχοληθεί κανείς είναι εύκολο να βρεί οτι το άθροισμα των οξειών γωνιών του ειναί ίσο με 180 μοίρες. Προσπαθήστε τώρα να αποδείξετε με στοιχειώδεις γνώσεις γεωμετρίας οτι το άθροισμα των οξειών γωνιών ενός ασύμμετρου άστρου όπως φαίνεται στο σχήμα είναι και αυτό ίσο με 180 μοίρες.

Ο διευθυντής μιας φυλακης μαζεύει ένα απόγευμα τους κρατούμενους, 100 άτομα σύνολο, και τους προτείνει την εξής συμφωνία…

“Επειδή η φυλακή έχει παραγεμίσει, λέω να κάνουμε την εξής συμφωνία: αύριο το πρωί θα σας βγάλω έξω στην αυλή και θα σας στήσω στη σειρά έτσι ώστε ο κάθε ένας να μπορεί να βλέπει όλους τους μπροστά του και μόνο αυτούς. Μετά θα σας φορέσω ένα καπέλο που θα είναι ή άσπρο ή μαύρο (τελείως τυχαία). Οπότε ο καθένας θα βλέπει των μπροστινών του αλλά δε θα βλέπει ούτε το δικό του ούτε των από πίσω του.
Έπειτα θα ρωτάω έναν έναν, από τον τέρμα πίσω προς τα μπρος, τι χρώμα καπέλο φοράει, όποιος το πετυχαίνει φεύγει ελεύθερος, όποιος πει λάθος πεθαίνει επί τόπου, αν κάποιος πει κάτι άσχετο (εκτός δηλ. από μαύρο / άσπρο) για να βοηθήσει τους υπόλοιπους πεθαίνετε όλοι…”
Οι φυλακισμένοι το συζητάνε λίγο και αποδέχονται τη συμφωνία… Μετά βρίσκονται όλοι μαζί και συνεννοούνται για το τι θα κάνουν…..
Με ελάχιστη τύχη την άλλη μέρα καταφέρνουν να φύγουν όλοι ελεύθεροι… Τί συνεννόηση έκαναν;

Έχουμε μια κυκλική πίστα (έναν κύκλο…) στην οποία υπάρχουν δύο αυτοκίνητα τοποθετημένα σε τυχαία σημεία. Ξεκινούν να κινούνται με την ίδια σταθερή ταχύτητα προς αντίθετες κατευθύνσεις πάνω στον κύκλο και κάθε φορά που “συναντιούνται” αλλάζουν στιγμιαία κατεύθυνση και συνεχίζουν να κινούνται με την ίδια σταθερή ταχύτητα (υποθέτουμε ότι η αλλαγή κατεύθυνσης γίνεται στιγμιαία). Να δείξετε ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα τα αυτοκίνητα θα ξαναβρεθούν στις αρχικές τους θέσεις και μάλιστα έχοντας την ίδια κατεύθυνση όπως όταν ξεκίνησαν….
Εύκολο; Το συμπέρασμα όμως δεν ισχύει μόνο για 2 αυτοκίνητα αλλά για n αυτοκίνητα τοποθετημένα τελείως στην τύχη πάνω στον κύκλο και με τελείως τυχαίες κατευθύνσεις (η μόνη προϋπόθεση είναι ότι έχουν όλα την ίδια σταθερή ταχύτητα)…. Κάποτε θα ξαναβρεθούν όλα ταυτόχρονα στην αρχική τους θέση….μπορείτε να αποδείξετε ότι κάτι τέτοιο είναι βέβαιο;