Ο Α και ο Γ είναι δύο φοιτητές του τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ. και είναι ορκισμένοι εχθροί. Τυχαίνει να γουστάρουν και οι δύο την Νικολέτα, μια τύπισσα που κάνει μεταπτυχιακό στη Θεωρία Αριθμών…. Μετά από πολύ ψηστήρι η Νικολέτα κάνει μαζί τους την εξής συμφωνία:

Θα βγει με όποιον απ’ τους δύο μαντέψει τους δύο αγαπημένους της φυσικούς αριθμούς. Οι αριθμοί αυτοί είναι ανάμεσα στο 2 και το 100 (1<x,y<101). Για να τους βοηθήσει λέει στον Α το άθροισμα των αριθμών και στον Γ το γινόμενό τους. Μια και όμως ο Α και ο Γ είναι ορκισμένοι εχθροί δεν λέει ο ένας στον άλλο τι ξέρει. Μετά από λίγη ώρα ακολουθεί ο εξής (εκ πρώτης όψεως κουφός) διάλογος:

Γ: “Δεν τους ξέρω τους αριθμούς.”

Α: “Το ήξερα ότι δεν τους ξέρεις.”

Γ: “Χα! Τώρα τους ξέρω!”

Α : “Τώρα τους ξέρω κι εγώ!!!”

Ποιοι είναι οι αγαπημένοι αριθμοί της Νικολέτας;

Ο συγκεκριμένος γρίφος λύνεται με διάφορους τρόπους οι περισσότεροι από τους οποίους απαιτούν -σε μικρό ή μεγάλο βαθμό- brute force. Μπορεί δε με “λίγο” κόπο να γραφτεί προγραμματάκι που να καταλήγει στη λύση. Υπάρχει όμως τρόπος να λυθεί και “θεωρητικά” – χωρίς επί της ουσίας πολλές δοκιμές…

Η γνωστή πειρατίνα Alvida και οι συμμορία της (τα 6 παληκάρια της φωτογραφίας) έχουν ανακαλύψει το θησαυρό της Αραμπάστα… 10.000.000 χρυσά νομίσματα. Μετά από ένα τρικούβερτο γλέντι που κράτησε 7 ολόκληρες μέρες κάθονται να μοιραστούν το θησαυρό…

Κάνουν την εξής συμφωνία:

• Ξεκινούν ένας ένας απ’ τον μικρότερο στο μεγαλύτερο.
• Κάθε ένας στη σειρά του προτείνει μια μοιρασιά, αν τη δεχτεί η πλειοψηφία τα μοιράζονται έτσι, αλλιώς τον σκοτώνουν…..

Ξεκινάει οπότε πρώτος ο Koby (το παιδί δεξιά με τα γυαλάκια και τα ροζ μαλλιά). Τι πρέπει να προτείνει ώστε να μεγιστοποιήσει το μερίδιό του;

Θεωρούμε ότι το μοναδικό κριτήριο όταν ψηφίζουν οι πειρατές είναι η μεγιστοποίηση του μεριδίου τους και ότι δεν υπάρχουν συμφωνίες ή συμπάθειες ανάμεσά τους.

Ο Νίκος από ένα ιδιαίτερο πληρώθηκε σε 12 δίευρα. Ο φίλος του ο Γιώργος παίζοντας με τα δίευρα λέει στο Νίκο…: “φίλε σε δουλέψανε ένα από τα διεύρα είναι κάλπικο”. Λοιπόν για να δω πόσο σε κόβει, μπορείς με τρεις ακριβώς ζυγίσεις να βρεις ποιο είναι το κάλπικο αν ξέρεις ότι είναι ελαφρύτερο από τα άλλα;

Ποιά είναι η μέθοδος που πρέπει να ακολουθήσει ο Νίκος; Μπορεί να βρει ο Νίκος το κάλπικο χωρίς την πληροφορία ότι είναι ελαφρύτερο από τα άλλα; Αν τα δίευρα είναι 28 φτάνουν 4 ζυγίσεις; Αν είναι 30; Αν είναι 32; Μπορεί να βρεθεί ένας αλγόριθμος που να δίνει την συνάρτηση φ(χ)=min{αριθμοί ζυγίσεων που είναι αρκετές ώστε να βρεις το κάλπικο ανάμεσα σε χ νομίσματα (χωρίς να ξέρεις αν το κάλπικο είναι ελαφρύτερο)}

Ο διευθυντής μιας φυλακης μαζεύει ένα απόγευμα τους κρατούμενους, 100 άτομα σύνολο, και τους προτείνει την εξής συμφωνία…

“Επειδή η φυλακή έχει παραγεμίσει, λέω να κάνουμε την εξής συμφωνία: αύριο το πρωί θα σας βγάλω έξω στην αυλή και θα σας στήσω στη σειρά έτσι ώστε ο κάθε ένας να μπορεί να βλέπει όλους τους μπροστά του και μόνο αυτούς. Μετά θα σας φορέσω ένα καπέλο που θα είναι ή άσπρο ή μαύρο (τελείως τυχαία). Οπότε ο καθένας θα βλέπει των μπροστινών του αλλά δε θα βλέπει ούτε το δικό του ούτε των από πίσω του.
Έπειτα θα ρωτάω έναν έναν, από τον τέρμα πίσω προς τα μπρος, τι χρώμα καπέλο φοράει, όποιος το πετυχαίνει φεύγει ελεύθερος, όποιος πει λάθος πεθαίνει επί τόπου, αν κάποιος πει κάτι άσχετο (εκτός δηλ. από μαύρο / άσπρο) για να βοηθήσει τους υπόλοιπους πεθαίνετε όλοι…”
Οι φυλακισμένοι το συζητάνε λίγο και αποδέχονται τη συμφωνία… Μετά βρίσκονται όλοι μαζί και συνεννοούνται για το τι θα κάνουν…..
Με ελάχιστη τύχη την άλλη μέρα καταφέρνουν να φύγουν όλοι ελεύθεροι… Τί συνεννόηση έκαναν;

Έχουμε μια κυκλική πίστα (έναν κύκλο…) στην οποία υπάρχουν δύο αυτοκίνητα τοποθετημένα σε τυχαία σημεία. Ξεκινούν να κινούνται με την ίδια σταθερή ταχύτητα προς αντίθετες κατευθύνσεις πάνω στον κύκλο και κάθε φορά που “συναντιούνται” αλλάζουν στιγμιαία κατεύθυνση και συνεχίζουν να κινούνται με την ίδια σταθερή ταχύτητα (υποθέτουμε ότι η αλλαγή κατεύθυνσης γίνεται στιγμιαία). Να δείξετε ότι μετά από κάποιο χρονικό διάστημα τα αυτοκίνητα θα ξαναβρεθούν στις αρχικές τους θέσεις και μάλιστα έχοντας την ίδια κατεύθυνση όπως όταν ξεκίνησαν….
Εύκολο; Το συμπέρασμα όμως δεν ισχύει μόνο για 2 αυτοκίνητα αλλά για n αυτοκίνητα τοποθετημένα τελείως στην τύχη πάνω στον κύκλο και με τελείως τυχαίες κατευθύνσεις (η μόνη προϋπόθεση είναι ότι έχουν όλα την ίδια σταθερή ταχύτητα)…. Κάποτε θα ξαναβρεθούν όλα ταυτόχρονα στην αρχική τους θέση….μπορείτε να αποδείξετε ότι κάτι τέτοιο είναι βέβαιο;