Πολλές φορές ακούμε πως τα μαθηματικά είναι άχρηστα στην καθημερινή μας ζωή, ωστόσο η δημιουργία των μαθηματικών προήλθε από τις καθημερινές ανάγκες του ανθρώπου και οι ίδιες ανάγκες μας ωθούν σε αυτά. Στο γρίφο αυτόν θα βοηθήσουμε ένα ράπτη να φτιάξει ένα κινέζικο καπέλο. Φανταστείτε ότι έχουμε ένα κυκλικό πανί με ακτίνα 1m (για ευκολία) και ότι θέλουμε να κόψουμε ένα μέρος του έτσι ώστε να φτιάξουμε το κωνικό κινέζικο καπέλο. Αν φ είναι η επίκεντρη γωνία του κυκλικού τομέα το οποίο θα αφαιρέσουμε, τότε ποια θα είναι η τιμή της φ ώστε το καπέλο να αποκτήσει το μέγιστο όγκο.

Διευκρίνιση : Αν από ένα κυκλικό δίσκο αφαιρέσουμε ένα κυκλικό τομέα  που αντιστοιχεί σε μια επίκεντρη γωνία και ταυτίσουμε τις πλευρές της επίκεντρης γωνίας τότε δημιουργείται ένας κώνος.

Στον ερχομό των 25 του ετών ο Βάιος ήρθε αντιμέτωπος με τον απολογισμό του πλήθους των γυναικών που περάσαν από την ζωή του. Αποφάσισε λοιπόν ότι η καλύτερη μέθοδος για να μετρήσει και να ομαδοποιήσει όλες τις τσούπρες αλλά και όλα τα υπέροχα πλάσματα που είχε γνωρίσει ήταν να ξεκινήσει να γράφει σε ξεχωριστά φύλλα κατηγοριοποιώντας τις και να σημειώνει παραδίπλα το χρόνο που πέρασαν μαζί.(Η κατηγοριοποίηση έγινε με κριτήρια του Βάιου που δε θα μάθουμε ποτέ)

Έτσι στο πρώτο φύλλο γράφει :Ελένη – 1 μήνας, στο δεύτερο φύλλο γράφει : Μαρία – 3 μήνες και Κική – 5 μήνες, στο τρίτο φύλλο γράφει : Χριστίνα – 7 μήνες, ξαδέλφη της Ελένης – 9 μήνες, Νεφέλη – 11 μήνες …

Τον σταματά  ο φίλος του ο Γιάννης και έχουν τον εξής διάλογο:

-Ρε φιλέ αυτοί οι αριθμοί είναι όροι αριθμιτικής προόδου .

-Ναι όντως..

-Χμμμ.. Φαντάσου να μην είχες κάνει σοβαρή σχέση με την Ειρήνη και το συνέχιζες , τι θα γινόταν άραγε ? Θεωρητικά μιλώντας πόσους μήνες θα είχε η πρώτη κοπέλα του ν-οστού φύλλου ?

Ο Βάιος έχει ασπρίσει από την ένωση των λέξεων σοβαρή και σχέση και δεν μιλάει.

Ο Γιάννης συνεχίζει και τον ρωτάει πόσο θα ήταν το άθροισμα των μηνών των γυναικών του ν-οστού φύλλου ?

Τι λέτε να βοηθήσουμε το φίλο μας το Βάιο στις δύο αυτές ερωτήσεις γιατί μάλλον ταράχτηκε τόσο πολύ που ξέχασε τα μισά μαθηματικά που ξέρει.

Πριν κάμποσα χρόνια οι Αμερικάνοι προσπαθούσαν να κατασκευάσουν το πεντάγωνο (κανονικό πεντάγωνο) – κάστρο του κακού. Ο αρχιτέκτονας τους έπρεπε να υπολογίσει το ύψος του πενταγώνου γνωρίζοντας μόνο την πλευρά του, πράγμα που απαιτούσε γνώσεις τριγωνομετρίας και είναι γνωστό ότι οι Αμερικάνοι δεν ξέρουν γρι από τριγωνομετρία. Τελικά κατάφεραν να το κατασκευάσουν χωρίς να χρησιμοποιήσουν τριγωνομετρικούς αριθμούς τύπου (ημθ,συνθ,εφθ,…)

Μπορείτε να βρείτε τη μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε?

*όπου ύψος του πενταγώνου ορίζουμε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρεται από την κορυφή του πενταγώνου προς την απέναντι πλευρά του.

Ο Θοδωράκης με τον ξάδερφό του Σωτηράκη είναι ερωτευμένοι με την ίδια κοπέλα και μια που γνωρίζουν ότι δεν αξίζει να μαλώνουν οι φίλοι για τέτοια θέματα αποφασίζουν να ρίξουν ένα νόμισμα και όποιος κερδίσει…. Έλα μου όμως που το μόνο νόμισμα που έχουν στη διάθεσή τους είναι λίγο “πειραγμένο” – η πιθανότητα έρθει κορώνα είναι p > 1/2. Πως θα τα κανονίσουν τα δυο παιδιά ώστε να έχει ο καθένας τους 1/2 πιθανότητα να κερδίσει;

Αν υποθέσουμε ότι το νόμισμα είναι κανονικό αλλά λόγω παλαιότητας ο Θοδωράκης πρέπει να έχει πιθανότητα p > 1/2 πως θα το κανόνιζαν αυτό τα παιδιά;

Στους στάβλους του μπαρμπα-Θανάση μόλις πήρανε ένα καινούριο μηχάνημα για να κρίνουν ποια άλογα είναι τα ταχύτερα. Στο μηχάνημα βάζεις δείγμα αίματος από 5 άλογα και σε μισό λεπτό τα κατατάσσει από το πιο γρήγορο στο πιο αργό!

Όταν έρχεται η ώρα λοιπόν να αγοράσει τρία καινούρια άλογα για ιπποδρομίες ο μπαρμπα-Θανάσης παίρνει μαζί του και το εν λόγω μηχάνημα. Έχει να αποφασίσει ανάμεσα σε 25 άλογα και θέλει να ξεχωρίσει τα 3 γρηγορότερα από αυτά. Θεωρώντας δεδομένο ότι μπορεί να πάρει αρκετά δείγματα αίματος από κάθε άλογο πόσες είναι οι ελάχιστες φορές που πρέπει να χρησιμοποιήσει το μηχάνημα ώστε να καταλάβει ποια είναι τα 3 γρηγορότερα;

Προσέξτε ότι σε κάθε χρήση το μηχάνημα συγκρίνει 5 άλογα και απλά τα διατάσσει ανάλογα με την ταχύτητά τους – δεν δίνει κάποια εξτρά πληροφορία.

Ο σημερινός μας γρίφος είναι μια “απλή” ερώτηση… Υποθέστε ότι έχουμε στη διάθεσή μας μια σκακιέρα και πολλά κομμάτια ντόμινο, τα οποία είναι ορθογώνια, μεγέθους ακριβώς όσο δύο τετράγωνα σκακιέρας. Προφανώς μπορώ να καλύψω όλη τη σκακιέρα με κομμάτια ντόμινο (64 τετράγωνα άρα θα χρειαστώ 32 ντόμινο). Μπορώ όμως να την καλύψω αν θέλω επιπρόσθετα να μείνουν ακάλυπτα το πάνω δεξί και το κάτω αριστερό τετράγωνο της σκακιέρας;

Αν αυτό είναι αδύνατο, αποδείξτε το. Αν είναι δυνατό, υποδείξτε ένα τρόπο κατασκευής του ζητούμενου.