Ο Γιώργος με το Δημήτρη επιστρέφουν στο Καστελλόριζο με τον Πρωτέα και μια και το ταξίδι είναι κοντά στο 5ωρο το έχουν ρίξει στο ταβλάκι… Για να έχει λίγο ενδιαφέρον παίζουν και ένα στοιχηματάκι 50€, παίζουν γενικά παρτίδες στις 7 νίκες και η συμφωνία είναι όποιος πάρει 10 παρτίδες κερδίζει. Μετά από ώρες παιχνιδιού ο Γιώργος είναι πίσω με 8 – 5 (στις παρτίδες). Πάνω που ετοιμάζονται να ξεκινήσουν την 14η παρτίδα διαπιστώνουν ότι η ώρα έχει περάσει και πιάνουν λιμάνι. Αφήνουν λοιπόν το τάβλι και αποβιβάζονται. Έλα όμως που τώρα πρέπει να βρουν ένα δίκαιο τρόπο για να μοιράσουν τα λεφτά (σύνολο 100€) που είχαν στοιχηματίσει!
Μπορείται να τους βοηθήσετε;

-να θεωρείσετε αρχικά δεδομένο ότι είναι ισάξιοι παίκτες άρα κάθε παρτίδα έχει πιθανότητα 1/2 να την κερδίσει ο καθένας
-προφανώς δε θα συνεχίσουν απλά να παίζουν…. θα μοιράσουν το στοίχημα…
-τι γίνεται αν οι πιθανότητες δεν είναι 1/2 και 1/2 αλλά p και 1-p;

Υπάρχουν πολλά πράγματα με τα οποία μπορεί κανείς να ασχοληθεί στις φτωχογειτονιές του Μεξικό, αλλά θα πίστευε ποτέ κανείς ότι η παρέα του youreka θα βρισκόταν σε τουρνουά κοκορομαχίας ? Έτσι οι 4 μας φίλοι βρέθηκαν να κάθονται ο καθένας σε μια από τις 4 γωνίες ενός ρινγκ πυγμαχίας με ένα οργισμένο κόκκορα στην αγκαλιά τους. Αν υποθέσουμε ότι η σειρά με την οποία κάθονται τα παιδιά είναι η εξής (αριστερόστροφα) : johnny5, artnoage, mouridis, shortmanikos. Σε πόσο χρόνο θα συναντηθούν οι κόκορες αν ο καθένας από δαύτους

1) κινείται με σταθερού μέτρου ταχύτητα 1m/sec

2) κινείται προσανατολισμένος με φορά προς το κόκορα που βρίσκεται δεξιά του, δηλαδή ο κόκορας του johnny5 κινείται εχθρικά προς το κόκορα του artnoage, ενώ του artonoage προς το κόκορα του mouridi κ.τ.λ.

Ερώτημα 2 : Απαντήστε στην ίδια ερώτηση αν υπάρχουν αντίστοιχα n φίλοι καθούμενοι στις n κορυφές ενός κανονικού n-γώνου.

Ο κυρ-Κώστας, χρυσοχόος της παλιάς σχολής, κατασκεύασε ένα δαχτυλίδι με ένα αρκετά περίεργο τρόπο. Αρχικά πήρε μια σφαίρα χρυσού. Μετά, έκανε μια τρύπα με το τρυπάνι του στην μέση της σφαίρας (όπως φαίνεται στο σχήμα) και έτσι κατασκεύασε ένα απλό δαχτυλίδι (βέρα).

Μη διαθέτοντας κανένα όργανο μέτρησης εκτός από ένα παχύμετρο, μέτρησε το πάχος του δαχτυλιδιού (το ύψος της τρύπας) και το βρήκε 6mm. Με σκοπό να υπολογίσει τελικά την τιμή του δαχτυλιδιού, πρέπει προηγούμενα να υπολογίσει το βάρος, για το οποίο, αφού δεν διαθέτει ζυγαριά, πρέπει να υπολογίσει πρώτα τον όγκο.

Ο κυρ-Κώστας, κάθισε για λίγο σκεπτικός και τελικά, χωρίς να κάνει περίπλοκους υπολογισμούς στο χαρτί αλλά μόνο 4-5 πολλαπλασιασμούς αριθμών, βρήκε τον όγκο του δαχτυλιδιού.

Μπορείτε και εσείς να βρείτε τον όγκο του δαχτυλιδιού, χωρίς περίπλοκους γεωμετρικούς υπολογισμούς;

Διευκρίνηση: Η λύση θα πρέπει να αποτελείται από την ανάλυση του σκεπτικού σας και λίγες πράξεις που συνολικά δεν θα ξεπερνούν τις 1-2 γραμμές. Λύσεις με ολοκληρώματα ή αράδες αλγεβρικών υπολογισμών δεν θα γίνονται δεκτές.

Επειδή βλέπω ότι ο γρίφος έχει μπερδέψει πολλούς παραθέτω τις παρακάτω διευκρινήσεις:

• Το μόνο γνωστό μέγεθος είναι το “πάχος” του δαχτυλιδιού που είναι 6mm
• Ο κυρ-Κώστας κατέληξε σε καθαρό αριθμό και όχι σε συνάρτηση κάποιου άλλου άγνωστου μεγέθους
• Τύποι υπολογισμού εμβαδών και όγκων που είναι γνωστοί από τα σχολικά βιβλία (εμβαδό τριγώνου, παραλληλογράμμου, τραπεζίου κλπ καθώς και όγκος παραλληλεπιπέδου, σφαίρας, κυλίνδρου, κώνου, πυραμίδας κλπ) δεν θεωρούνται περίπλοκοι γεωμετρικοί ή αλγεβρικοί υπολογισμοί, θεωρούνται ότι είναι γνωστοί στον κυρ-Κώστα και συνεπώς η πιθανή χρήση τους στην λύση θα γίνεται δεκτή. (Για παράδειγμα η χρήση του τύπου υπολογισμού όγκου κυλίνδρου V_κυλ=πr²h θεωρείται αποδεκτή.)

Ο ήρωας του σημερινού μας γρίφου είναι ένας πραγματικά τεμπέλης άνθρωπος (ας τον πούμε κ.Τσουγκράνα) που δουλεύει σε ένα συνοικιακό θέατρο σαν ταμίας. Αυτό τον καιρό ανεβαίνει μια παράσταση που έχει εισιτήριο 5€. Ο κ.Τσουγκράνας επειδή βαριότανε δεν πήγε να κάνει καθόλου ψιλά (5€) οπότε ξεκινά με άδειο ταμείο. Αν στην ουρά υπάρχουν 2ν άτομα από τα οποία οι μισοί έχουν 5€ ακριβώς ενώ οι άλλοι μισοί έχουν ένα 10€ (ένα χαρτονόμισμα των 10€ – όχι σε ψιλά) ποια είναι η πιθανότητα να μην συναντήσει ο κ.Τσουγκράνας πρόβλημα με τα ρέστα;

Προφανώς θεωρούμε ότι τα 2ν άτομα είναι τοποθετημένα με τυχαία σειρά – άσχετα απ’ το αν έχουν ή όχι ακριβώς τα λεφτά για το εισιτήριο.

Ο Γιάννης έχει πρόβλημα. Βρίσκεται στο κέντρο μιας κυκλικής λίμνης με ακτίνα 100m και στην περίμετρό της λίμνης βρίσκεται ένα τέρας που κατασπαράζει τους κολυμβητές. Τα καλά νέα για τον Γιάννη είναι ότι το τέρας δεν μπορεί να κολυμπήσει και συνεπώς, προς το παρόν τουλάχιστον, ο Γιάννης είναι ασφαλής.

Ωστόσο, δεν μπορεί να μείνει για πάντα μέσα στην λίμνη οπότε πρέπει κάπως να δραπετεύσει. Το πρόβλημα είναι ότι ενώ στην στεριά ο Γιάννης τρέχει πολύ πιο γρήγορα από το τέρας, στο νερό μπορεί να κολυμπήσει με ταχύτητα μόλις 1m/sec ενώ το τέρας μπορεί να περπατάει γύρω από την λίμνη με 4m/sec.

Υπάρχει τρόπος να φτάσει ο Γιάννης στην στεριά χωρίς να τον προλάβει το τέρας;
Αν υπάρχει περιγράψτε την πορεία του. Αν δεν υπάρχει περιγράψτε την στρατηγική που μπορεί να ακολουθήσει το τέρας για να τον πιάσει σίγουρα.

Διευκρινήσεις:

• Η λίμνη είναι τέλειος κύκλος
• Το τέρας δεν μπορεί να μπει στο νερό ή να “πηδήξει” πάνω στο Γιάννη οσοδήποτε κοντά και αν βρίσκεται σε αυτόν, οπότε ο μόνος τρόπος για να τον πιάσει είναι να βρεθούν ταυτόχρονα στο ίδιο σημείο της περιμέτρου της λίμνης.

Ο Δημήτρης (αδελφός του Αλέκου) πεθαίνει κι αυτός και βρίσκεται όπως και ο αδελφός του μπροστά στις δύο πανομοιότυπες πύλες (παράδεισος – κόλαση). Ο Δημήτρης λοιπόν στέκεται εκεί με αυτοπεποίθηση και περιμένει τους φύλακες που εκείνη την ώρα έλειπαν για κολατσιό. Γνωρίζει ως φανατικός αναγνώστης του YouReka την ερώτηση που πρέπει να κάνει ώστε να διαλέξει τη σωστή πόρτα. Έλα μου όμως που για κακή του τύχη το σύστημα έχει πλέον αλλάξει…. Επειδή πολύς κόσμος κατάφερνε να μπει στον παράδεισο πλέον στις πύλες υπάρχουν 3 φύλακες. Ο ένας λέει πάντα την αλήθεια, ο άλλος λέει πάντα ψέμματα ενώ ο τρίτος λέει πότε αλήθεια και πότε ψέμματα!

Ο Δημήτρης έχει δικαίωμα να κάνει δύο ερωτήσεις πριν διαλέξει το που θα πάει. Φυσικά δεν γνωρίζει ποιος από τους τρεις φύλακες λέει αλήθεια, ποιος ψέματα και ποιος λέει ότι του κατέβει!

Ποιες ερωτήσεις πρέπει να κάνει ο Δημήτρης ώστε να μάθει ποια πύλη οδηγεί στον παράδεισο;