Επειδή οι δυο τελευταίοι μας γρίφοι είναι για γερά νεύρα – κυριολεκτικά σπαζοκεφαλιές…. σήμερα θα κάνουμε ένα μικρό “διάλειμμα”.

 Είναι λοιπόν στο δημοτικό ο Θοδωράκης με την Νάταλι και τα λένε την ώρα του διαλείμματος… Η Νάταλι βάζει λοιπόν στο Θοδωράκη την εξής πρόκληση:

 – Θα βάλει στο νου της έναν αριθμό από τους 1 / 2 / 3
 – Ο Θοδωράκης θα της κάνει μόνο μία ερώτηση, στην οποία θα του απαντήσει ή με ένα “ναι”, ή με ένα “όχι” ή αν δε ξέρει θα του πει “δεν ξέρω”.

  Μόνο με αυτή την ερώτηση ο Θοδωράκης πρέπει να μαντέψει τον αριθμό που έβαλε η Νάταλι.

  Ποια ερώτηση πρέπει να κάνει ο Θοδωράκης;

Στη μακρινή Λογικολάνδη ο υπουργός δικαιοσύνης έχει πάλι όρεξη για γρίφους λογικής και σπαζοκεφαλιές…. Σχεδιάζει που λέτε το εξής παιχνίδι:

– Στο παιχνίδι συμμετέχουν ν κρατούμενοι (σαν ομάδα).
– Μαζεύονται οι ν κρατούμενοι στην αυλή της φυλακής, όπου και θα έχουν κάποια ώρα να κάνουν την συνεννόησή τους.
– Σε ένα δωμάτιο υπάρχουν ν αριθμημένες κάρτες. Στη μια τους πλευρά έχουν έναν αριθμό (1 εώς ν) και στην άλλη γράφουν το όνομα ενός απ’ τους κρατούμενους. Κάθε κρατούμενος έχει δηλαδή μια κάρτα που γράφει το όνομά του. Οι κάρτες είναι τοποθετημένες με τον αριθμό τους στην πάνω μεριά (το όνομα που γράφουν δεν φαίνεται).
– Οι κρατούμενοι θα μπουν ένας – ένας στο δωμάτιο.
– Όταν μπει ένας κρατούμενος στο δωμάτιο έχει δικαίωμα να γυρίσει το πολύ ν / 2 (τις μισές) κάρτες. Αν μια απ’ αυτές που γυρίσει έχει το όνομά του “κερδίζει”, αλλιώς “χάνει”. Έπειτα φεύγει από την πίσω πόρτα και πηγαίνει στο κελί του (δεν ξαναβλέπει τους άλλους). Πριν μπει ο επόμενος οι φύλακες ξαναγυρνάν όλες τις κάρτες ώστε η πάνω μεριά να είναι ο αριθμός (το όνομα που γράφουν να μην φαίνεται).

Αφού περάσουν όλοι από το δωμάτιο θεωρούμε ότι η ομάδα κέρδισε αν έχουν “κερδίσει” και οι ν κρατούμενοι. Αν έστω και ένας έχει “χάσει”, χάνει όλη η ομάδα.

Όπως ήταν αναμενόμενο (μια και ο καθένας έχει πιθανότητα να πετύχει το όνομά του περίπου 1/2* άρα να το πετύχουν όλοι είναι (1/2) ^ν) γενικά οι κρατούμενοι σε όλες τις φυλακές της χώρας βγαίνουν χαμένοι, ειδικά όσο ανεβαίνει ο αριθμός των ατόμων που απαρτίζουν την ομάδα…..

Μέχρι που σε μια φυλακή….. καταφέρνουν να κερδίζουν με πολύ καλούς ρυθμούς…… πάνω από 1 στις 4 ομάδες κερδίζει….. μήπως κλέβουν…. μήπως έχουν τηλεπαθητικές ικανότητες….. ή μήπως βρήκαν απλά ένα λογικό τρόπο να αυξήσουν τις πιθανότητές τους;

Μπορείτε να βρείτε τι σκέφτηκαν στη συγκεκριμένη φυλακή;

*αν ν ζυγός 1/2 αλλιώς είναι ( 1/2 – 1/(2ν) )

 Ο σημερινός μας γρίφος θα μας ταξιδέψει στο μέλλον. Είμαστε λοιπόν στο έτος 3000 και κάτι ψιλά και η τεχνολογία έχει εξελιχθεί, μια κατάσταση αλλά Ισαάκ Ασίμωφ (Isaac Asimov) φανταστείτε. Σε ένα από τα βασικά ορυχεία του πλανήτη Άρη κάποια απ’ τα ρομπότ (λόγω κάποιου κατασκευαστικού ελαττώματος) έχουν ξεκινήσει ανταρσία.
 Μετά την καταστολή της ανταρσίας και αφού όλα τα ρομπότ έχουν τεθεί υπό περιορισμό υπάρχει το εξής πρόβλημα. Απ’ τη μια είναι οικονομικά ασύμφορο να καταστραφούν όλα τα ρομπότ, αλλά δεν υπάρχει κάποιος ασφαλής τρόπος να βρεθεί ποια από αυτά είναι τα ελαττωματικά. Η μόνη ελπίδα είναι πως το κάθε ρομπότ γνωρίζει για όλα τα άλλα αν είναι ή όχι ελαττωματικά.
 Έρχεται λοιπόν στο χώρο κράτησης των ρομπότ ο Elijah Baley για να βρει άκρη…. Η μοναδική πηγή πληροφορίας που έχει είναι ότι μπορεί να ρωτήσει το κάθε ρομπότ χ αν το ρομπότ ψ είναι ή όχι ελαττωματικό. Αν το ρομπότ είναι ελαττωματικό δεν θα του πει βέβαια κατ’ ανάγκη την αλήθεια. Αν δεν είναι ελαττωματικό θα του απαντήσει την αλήθεια.

 – Εσείς μπορείτε να βρείτε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε να μπορέσει ο Elijah να βγάλει συμπέρασμα;
 – Αν ο Elijah ξέρει ότι ισχύει η προηγούμενη συνθήκη πόσες είναι οι ελάχιστες ερωτήσεις που θα χρειαστεί ώστε να απομονώσει ένα σίγουρα μη ελαττωματικό ρομπότ;

 (Αν βρει ένα σίγουρα μη ελαττωματικό μπορεί απλά ρωτώντας αυτό για όλα τα άλλα βρει όλα τα ελαττωματικά)

Μπορείτε να υποθέσετε ότι τα ρομπότ είναι σύνολο 100 αλλά δεν έχει σημασία πόσα είναι συνολικά!

Σε μια φανταστική χώρα, την Armenian Slaughterers United (ASU) το εκλογικό σύστημα έχει ως εξής:

Οι ψηφοφόροι χωρίζονται σε v₁ ισοπληθείς ομάδες (επίπεδο 1) των μ₁ ατόμων. Έπειτα κάθε μια από αυτές σε v₂ ισοπληθείς ομάδες (επίπεδο 2) των μ₂ ατόμων κ.ο.κ. μέχρι να κρίνει η εκάστοτε κυβέρνηση ότι τη συμφέρει (το ποιος πάει σε κάθε ομάδα το καθορίζει φυσικά η κυβέρνηση όπως θέλει αυτή). Έπειτα η κάθε ομάδα του τελευταίου επιπέδου (n) βγάζει με απόλυτη πλειοψηφία (σε περίπτωση ισοψηφίας χάνει ο κυβερνητικός εκπρόσωπος) έναν αντιπρόσωπο που θα έχει δικαίωμα ψήφου στο ένα πιο πάνω επίπεδο (n-1). Αυτοί βγάζουν αντιπροσώπους για το n-2 κ.ο.κ. Η τελική ψηφοφορία στο επίπεδο 1 καθορίζει και την επόμενη κυβέρνηση της χώρας. Η ASU έχει αυτή τη στιγμή 100.000.000 πολίτες από τους οποίου δικαίωμα ψήφου έχουν οι 59.049.000. Αν η τωρινή κυβέρνηση έχει την υποστήριξη του 0,2% του συνολικού πληθυσμού και όλοι οι υποστηρικτές της έχουν δικαίωμα ψήφου μπορεί να χωρίσει τον κόσμο με κατάλληλο τρόπο ώστε να επανεκλεγεί δημοκρατικά;

Ο shortmanikos μόλις πήρε το δίπλωμα οδήγησης και σκέφτεται (με κάτι λεφτά που έχει στην άκρη) να πάρει αμάξι…. Η πρώτη του σκέψη είναι για μεταχειρισμένο. Κοιτώντας τις τιμές παρατηρεί ότι ισχύει το εξής περίεργο με την τιμή του μοντέλου που τον ενδιαφέρει. Αν πάρεις την τιμή του (τετραψήφιος αριθμός α₁α₂α₃α₄) και τον πολλαπλασιάσεις με το 4 θα πάρεις τον ίδιο αριθμό αντεστραμμένο (α₄α₃α₂α₁). Πόσο κοστίζει λοιπόν το αμάξι;

Το γρίφο μας έστειλε ο χρήστης sdakos

Μια μέρα ενώ ο Γιάννης παρακολουθούσε Ολοκληρωτικό Λογισμό στη σχολή γνωρίστηκε με την Ελένη (επίσης φοιτήτρια μαθηματικού). Αφού μιλήσανε λίγο η Ελένη φαγώθηκε να μάθει το mail του για να επικοινωνούνε…. Έλα μου όμως που ο Γιάννης δεν είχε καμία όρεξη να της δώσει το πραγματικό του mail…. Με τα πολλά η Ελένη κατάφερε να μάθει ότι το mail είναι johnny_xxx-at-youreka.gr (όπου xxx ένας τριψήφιος αριθμός απ’ το 005 ως το 115. Ακολούθησε ο παρακάτω διάλογος:

– “Έλα πες με τουλάχιστον αν είναι μεγαλύτερος απ’ το 50.”
Ο Γιάννης απαντά μεν, αλλά λέει ψέματα
– “Και μήπως είναι πολλαπλάσιο του 4;”
Ο Γιάννης απαντά μεν, αλλά λέει ψέμματα.
– “Νομίζω πλησιάζω… Είναι τέλειο τετράγωνο;”
Ο Γιάννης απαντά και λέει αλήθεια.
– “Εντάξει τον έχω βρει σχεδόν…. Απλά πες με αν το πρώτο ψηφίο του είναι 3 και θα τον βρω.”
Ο Γιάννης απαντά, η Ελένη “βρίσκει” τον αριθμό…. ο οποίος βέβαια είναι λάθος μια και οι περισσότερες απαντήσεις του Γιάννη ήταν ψέματα.

Εσείς μπορείτε να βρείτε το πραγματικό mail του Γιάννη;