Ένα από τα βράδια όπου η ομάδα του Youreka βρισκόταν στο Δώμα, ανοίγει η πόρτα και μπαίνει ο Χάρος μέσ’ τα κλάματα. Αφού καθίσαμε και ήπιαμε κάνα δυο μπύρες μαζί του μας εξήγησε ότι είχε γραφειοκρατικό πρόβλημα στις πύλες και ότι ήθελε τη βοήθεια μας. Επίσης μας πληροφόρησε ότι κάθε φορά που επέστρεφε στις πύλες του ζητούσαν αναλυτικά πόσες ψυχές είχε παραλάβει ανά ημέρα τις ημέρες που έλειπε και πως αυτή τη φορά είχε χάσει το τεφτέρι όπου έκανε αυτές τις σημειώσεις. Έτσι με την σειρά μας ζητήσαμε όλες τις πληροφορίες που θυμόταν ο Χάρος για τους αριθμούς που σημείωνε στο τεφτέρι του και ακολούθησε ο εξής διάλογος:

– Θυμάμαι ότι ήταν συνολικά 198 ψυχές.

– Ζωή σε λόγου μας.

– Επίσης θυμάμαι ότι όταν έκανα την πρόσθεση οι αριθμοί που χρησιμοποίησα είχαν ψηφία από το {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} σε φθίνουσα σειρά και κάθε ψηφίο είχε χρησιμοποιηθεί μόνο μια φορά.

– Δηλαδή .. ήταν κάπως έτσι το άθροισμα?? 9+8+7+65 +43+2+10=….

– Ναι.. μόνο δεν θυμάμαι τους ακριβείς αριθμούς ανά μέρα..

– Ωραία θα σου στείλουμε την απάντηση στο και καλές δουλειές.

Υ.Γ. Ζητείται να βρεθούν όλα τα πιθανά αθροίσματα και να μη χρησιμοποιηθεί βοήθεια υπολογιστή.

Ο καθηγητής Λογικής κ. Βαράτζος είναι συχνός θαμώνας στην ταβέρνα της κυρα-Γιαννούλας, οπότε την βλέπει συχνά να μετρά τις ποσότητες κρασιού που σερβίρει “παίζοντας” με τα κανάτια που έχει στη διάθεσή της. Αποφασίζει λοιπόν να της βάλει την εξής πρόκληση:

Της δίνει δύο απλά κυλινδρικά ποτήρια χωρητικότητας 300ml το καθένα. Το ένα είναι ψηλό (ύψος 9 μονάδες) και το ένα χαμηλό (ύψος 4 μονάδες).
Η κυρα-Γιαννούλα έχοντας στη διάθεσή της τα δύο ποτήρια και άφθονο κρασί πρέπει να μετρήσει 200ml κρασιού.
Εννοείται ότι δεν υπάρχει πρόβλημα αν χυθεί λίγο κρασί κατά τη διαδικασία….

Η κυρα-Γιαννούλα σαν έμπειρη κρασομάνα δεν είχε πρόβλημα…. εσείς;

Σε ένα τετράγωνο δωμάτιο ΑΒΓΔ υπάρχει μια κάμερα στην κορυφή Α. Η επαγγελματίας κλέφτρα Κούλα (το χρυσό χέρι) ζητά τη βοήθεια του μαθηματικού Γιώργου ( ο Κοντομάνικος) για να της υπολογίσει τη γωνία θέασης της κάμερας δεδομένου ότι
α) το τετράγωνο είναι πλευράς α
β) το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ=ΔΚ+ΛΒ όπου το Κ είναι σημείο της ΔΓ , Λ είναι σημείο της ΒΓ και η γωνία που μας ενδιαφέρει είναι η ΚΑΛ

Ποια είναι η απάντηση του Γιώργου ?

 Ο σημερινός μας γρίφος θα μας ταξιδέψει στο μέλλον. Είμαστε λοιπόν στο έτος 3000 και κάτι ψιλά και η τεχνολογία έχει εξελιχθεί, μια κατάσταση αλλά Ισαάκ Ασίμωφ (Isaac Asimov) φανταστείτε. Σε ένα από τα βασικά ορυχεία του πλανήτη Άρη κάποια απ’ τα ρομπότ (λόγω κάποιου κατασκευαστικού ελαττώματος) έχουν ξεκινήσει ανταρσία.
 Μετά την καταστολή της ανταρσίας και αφού όλα τα ρομπότ έχουν τεθεί υπό περιορισμό υπάρχει το εξής πρόβλημα. Απ’ τη μια είναι οικονομικά ασύμφορο να καταστραφούν όλα τα ρομπότ, αλλά δεν υπάρχει κάποιος ασφαλής τρόπος να βρεθεί ποια από αυτά είναι τα ελαττωματικά. Η μόνη ελπίδα είναι πως το κάθε ρομπότ γνωρίζει για όλα τα άλλα αν είναι ή όχι ελαττωματικά.
 Έρχεται λοιπόν στο χώρο κράτησης των ρομπότ ο Elijah Baley για να βρει άκρη…. Η μοναδική πηγή πληροφορίας που έχει είναι ότι μπορεί να ρωτήσει το κάθε ρομπότ χ αν το ρομπότ ψ είναι ή όχι ελαττωματικό. Αν το ρομπότ είναι ελαττωματικό δεν θα του πει βέβαια κατ’ ανάγκη την αλήθεια. Αν δεν είναι ελαττωματικό θα του απαντήσει την αλήθεια.

 – Εσείς μπορείτε να βρείτε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε να μπορέσει ο Elijah να βγάλει συμπέρασμα;
 – Αν ο Elijah ξέρει ότι ισχύει η προηγούμενη συνθήκη πόσες είναι οι ελάχιστες ερωτήσεις που θα χρειαστεί ώστε να απομονώσει ένα σίγουρα μη ελαττωματικό ρομπότ;

 (Αν βρει ένα σίγουρα μη ελαττωματικό μπορεί απλά ρωτώντας αυτό για όλα τα άλλα βρει όλα τα ελαττωματικά)

Μπορείτε να υποθέσετε ότι τα ρομπότ είναι σύνολο 100 αλλά δεν έχει σημασία πόσα είναι συνολικά!

Σε μια φανταστική χώρα, την Armenian Slaughterers United (ASU) το εκλογικό σύστημα έχει ως εξής:

Οι ψηφοφόροι χωρίζονται σε v₁ ισοπληθείς ομάδες (επίπεδο 1) των μ₁ ατόμων. Έπειτα κάθε μια από αυτές σε v₂ ισοπληθείς ομάδες (επίπεδο 2) των μ₂ ατόμων κ.ο.κ. μέχρι να κρίνει η εκάστοτε κυβέρνηση ότι τη συμφέρει (το ποιος πάει σε κάθε ομάδα το καθορίζει φυσικά η κυβέρνηση όπως θέλει αυτή). Έπειτα η κάθε ομάδα του τελευταίου επιπέδου (n) βγάζει με απόλυτη πλειοψηφία (σε περίπτωση ισοψηφίας χάνει ο κυβερνητικός εκπρόσωπος) έναν αντιπρόσωπο που θα έχει δικαίωμα ψήφου στο ένα πιο πάνω επίπεδο (n-1). Αυτοί βγάζουν αντιπροσώπους για το n-2 κ.ο.κ. Η τελική ψηφοφορία στο επίπεδο 1 καθορίζει και την επόμενη κυβέρνηση της χώρας. Η ASU έχει αυτή τη στιγμή 100.000.000 πολίτες από τους οποίου δικαίωμα ψήφου έχουν οι 59.049.000. Αν η τωρινή κυβέρνηση έχει την υποστήριξη του 0,2% του συνολικού πληθυσμού και όλοι οι υποστηρικτές της έχουν δικαίωμα ψήφου μπορεί να χωρίσει τον κόσμο με κατάλληλο τρόπο ώστε να επανεκλεγεί δημοκρατικά;

Μια συμμορία πειρατών κάθεται μετά από μια επιτυχημένη μπάζα να μοιράσει τα λάφυρα (χρυσά νομίσματα) με τα πρωτοπαλίκαρά του. Επειδή ο καπετάνιος του πειρατικού έχει μια τρέλα με τη θεωρία αριθμών και τους γρίφους κανονίζουν τη μοιρασιά ώστε να ισχύει το εξής:
Το μερίδιο του 1ου + το 1/2 από το μερίδιο όλων των υπόλοιπων (εκτός από τον 1o) =
Το μερίδιο του 2ου + το 1/3 από το μερίδιο όλων των υπόλοιπων (εκτός από τον 2o) =
Το μερίδιο του 3ου + το 1/4 από το μερίδιο όλων των υπόλοιπων (εκτός από τον 3o) =
………..
………..
Το μερίδιο του Nου + το 1/(N+1) από το μερίδιο όλων των υπόλοιπων (εκτός από τον No).

Μετά τη μοιρασιά κατεβαίνει ο καπετάνιος στο αμπάρι που είχαν φυλακισμένο τον Βάιο και αφού του εξηγεί το πως έγινε η μοιρασιά του λέει:
– “Αν καταφέρεις να βρεις πόσα πήρε ο καθένας μας θα αφήσω να φύγεις, δε θα σε πουλήσω στα σκλαβοπάζαρα! Για να σε βοηθήσω τα χρυσά νομίσματα ήταν λιγότερα από χίλια και περισσότεροι απ’ τους μισούς πήραν μονό αριθμό νομισμάτων.”
– “Μήπως να βοηθούσες λίγο ακόμα….” Λέει μετά από λίγη σκέψη ο Βάιος.
– “Το λιγότερο που πήρε κάποιος ήταν ***** “(παρόλο που ο Βάιος άκουσε το ποσό η ομάδα του YouReka θεώρησε σκόπιμο να λογοκρίνει αυτή την πληροφορία)
– “Δε βοηθάς πολύ….” Λέει διστακτικά ο Βάιος.
– “Κοίτα εγώ σε σχέση με αυτόν που πήρε τα λιγότερα πήρα παραπάνω απ’ τα δεκαπλάσια.” Λέει γελώντας ο καπετάνιος.

Με αυτήν την πληροφορία ο Βάιος μαντεύει το μερίδιο του κάθε πειρατή!
Εσείς μπορείτε να τα καταφέρετε;

Να σημειώσουμε ότι το Βάιο τον άρπαξαν οι πειρατές τόσο γρήγορα που δεν έχει ιδέα για το πόσοι είναι αυτοί, δεν ξέρει δηλαδή εξαρχής το πόσοι πειρατές μοιράστηκαν τα χρυσά νομίσματα.